פתרון מפורט · לשימוש המרצה
רעיונות פתרון מפורטים
תורת ההסתברות וסטטיסטיקה 1
פתרון מלא למבחן לדוגמה. הפתרונות מוצגים עם דרך, נוסחאות מסודרות ותשובות סופיות.
הערה פדגוגית: זהו פתרון אפשרי אחד. במבחן יש לקבל גם דרכי פתרון שקולות, כל עוד הן מנומקות ומתמטית נכונות.
יש 7 כדורים שונים ו־9 תאים ממוספרים. כל כדור נשלח באופן בלתי תלוי לאחד מ־9 התאים. לכן גודל מרחב המדגם הוא:
\[|\Omega|=9^7\]
א. כל הכדורים בתאים שונים
נסדר את 7 הכדורים בזה אחר זה. לכדור הראשון יש 9 אפשרויות, לשני 8, לשלישי 7, וכן הלאה עד לכדור השביעי שיש לו 3 אפשרויות.
\[
P=\frac{9\cdot 8\cdot 7\cdot 6\cdot 5\cdot 4\cdot 3}{9^7}
=\frac{181440}{4782969}\approx 0.0379
\]
תשובה: בערך 0.0379.
ב. כל הכדורים באותו תא
בוחרים את התא שבו יהיו כל הכדורים: 9 אפשרויות. לאחר בחירת התא, לכל הכדורים אין בחירה נוספת.
\[
P=\frac{9}{9^7}=\frac{1}{9^6}\approx 0.00000188
\]
תשובה: בערך 0.00000188.
ג. אי־תלות בין המאורעות \(A\) ו־\(B\)
נסמן \(A\): תא 1 אינו ריק, ו־\(B\): תא 2 אינו ריק.
\[
P(A)=1-\left(\frac{8}{9}\right)^7,\qquad
P(B)=1-\left(\frac{8}{9}\right)^7
\]
כדי לחשב את החיתוך נשתמש בהכלה והפרדה:
\[
\begin{aligned}
P(A\cap B)
&=1-P(A^c\cup B^c)\\
&=1-P(A^c)-P(B^c)+P(A^c\cap B^c)\\
&=1-2\left(\frac{8}{9}\right)^7+\left(\frac{7}{9}\right)^7
\end{aligned}
\]
לבדיקת אי־תלות צריך לבדוק האם \(P(A\cap B)=P(A)P(B)\). בפועל:
\[
P(A\cap B)\approx 0.2953,
\qquad
P(A)P(B)\approx 0.3153
\]
תשובה: \(A\) ו־\(B\) אינם בלתי תלויים.
ד. בתא 1 או בתא 2 יש בדיוק 4 כדורים
ההסתברות שבתא 1 יהיו בדיוק 4 כדורים היא בינומית: בוחרים אילו 4 מתוך 7 הכדורים יהיו בתא 1, ו־3 הכדורים האחרים יכולים להיות בכל אחד מ־8 התאים האחרים.
\[
P(N_1=4)=\binom{7}{4}\left(\frac{1}{9}\right)^4\left(\frac{8}{9}\right)^3
\]
אותו חישוב נכון גם לתא 2. שני המאורעות לא יכולים להתרחש יחד, כי אין מספיק כדורים כדי שבשני התאים יהיו 4 כדורים כל אחד.
\[
P=2\binom{7}{4}\left(\frac{1}{9}\right)^4\left(\frac{8}{9}\right)^3\approx 0.00749
\]
תשובה: בערך 0.00749.
ה. סעיף חובה: תא אחד עם 3 כדורים ושני תאים עם 2 כדורים
צריך לקבל תבנית תפוסה מסוג \(3,2,2\). בוחרים תא עבור 3 הכדורים, שני תאים עבור זוגות הכדורים, ואז מחלקים את 7 הכדורים השונים בין התאים שנבחרו.
\[
P=
\frac{9\cdot \binom{8}{2}\cdot \binom{7}{3}\cdot \binom{4}{2}}{9^7}
\approx 0.01106
\]
הסבר: \(9\) אפשרויות לתא עם 3 כדורים; \(\binom{8}{2}\) אפשרויות לשני התאים עם 2 כדורים; \(\binom{7}{3}\) בחירה של הכדורים בתא הראשון; \(\binom{4}{2}\) בחירה של הכדורים באחד משני התאים עם זוג, והיתר הולכים לתא הזוג השני.
תשובה: בערך 0.01106.
נסמן \(X\) ציון של סטודנט. נתון: \(X\sim N(80,5^2)\), כלומר \(\mu=80\) ו־\(\sigma=5\).
א. הסתברות לציון מעל 90
\[
Z=\frac{90-80}{5}=2
\]
\[
P(X>90)=P(Z>2)=1-\Phi(2)=1-0.9772=0.0228
\]
תשובה: בערך 0.0228.
ב. ממוצע מדגם של 50 סטודנטים גדול מ־81
ממוצע המדגם מתפלג נורמלית עם אותה תוחלת, ועם סטיית תקן מוקטנת:
\[
\overline X\sim N\left(80,\left(\frac{5}{\sqrt{50}}\right)^2\right)
\]
\[
Z=\frac{81-80}{5/\sqrt{50}}=\sqrt{2}\approx 1.414
\]
\[
P(\overline X>81)=P(Z>1.414)\approx 0.0787
\]
תשובה: בערך 0.079.
ג. בדיוק 3 נכשלים מתוך 5
נכשל פירושו ציון נמוך מ־60. קודם מחשבים הסתברות כישלון לסטודנט יחיד:
\[
p=P(X<60)=P\left(Z<\frac{60-80}{5}\right)=P(Z<-4)\approx 0.0000317
\]
מספר הנכשלים מתוך 5 מתפלג בינומית: \(Y\sim Bin(5,p)\).
\[
P(Y=3)=\binom{5}{3}p^3(1-p)^2\approx 3.18\cdot 10^{-13}
\]
תשובה: בערך \(3.18\cdot 10^{-13}\), כלומר הסתברות כמעט אפסית.
ד. סעיף חובה: דוגמים עד הסטודנט השלישי עם ציון מעל 87
נסמן הצלחה: ציון מעל 87. תחילה מחשבים את הסתברות ההצלחה.
\[
p=P(X>87)=P\left(Z>\frac{87-80}{5}\right)=P(Z>1.4)
\]
\[
p=1-\Phi(1.4)=1-0.9192=0.0808
\]
מספר הדגימות עד ההצלחה השלישית מתפלג שלילית־בינומית. התוחלת של מספר הניסויים עד \(r\) הצלחות היא \(r/p\).
\[
E(T)=\frac{r}{p}=\frac{3}{0.0808}\approx 37.1
\]
תשובה: נצטרך בממוצע כ־37.1 דגימות.
נסמן \(M\) — הסטודנט נשוי. הקבוצות: \(B\) תואר ראשון, \(G\) תואר מתקדם, \(O\) תוכניות אחרות.
א. ההסתברות שסטודנט אקראי נשוי
משתמשים בנוסחת ההסתברות השלמה:
\[
\begin{aligned}
P(M)
&=P(B)P(M\mid B)+P(G)P(M\mid G)+P(O)P(M\mid O)\\
&=0.7\cdot 0.2+0.2\cdot 0.25+0.1\cdot 0.6\\
&=0.14+0.05+0.06=0.25
\end{aligned}
\]
תשובה: 0.25.
ב. בדיוק 3 נשואים מתוך 8
כעת ההסתברות שסטודנט אקראי נשוי היא \(p=0.25\), ולכן מספר הנשואים מתוך 8 מתפלג בינומית: \(Y\sim Bin(8,0.25)\).
\[
P(Y=3)=\binom{8}{3}(0.25)^3(0.75)^5\approx 0.2076
\]
תשובה: בערך 0.2076.
ג. לפחות 2 נשואים מתוך 10
נוח לחשב באמצעות המאורע המשלים: לא יהיו נשואים כלל, או שיהיה בדיוק נשוי אחד.
\[
\begin{aligned}
P(Y\ge 2)
&=1-P(Y=0)-P(Y=1)\\
&=1-(0.75)^{10}-\binom{10}{1}(0.25)(0.75)^9\\
&\approx 0.7560
\end{aligned}
\]
תשובה: בערך 0.7560.
ד. סעיף חובה: הסתברויות מותנות בהינתן שהסטודנט נשוי
משתמשים בנוסחת בייס. המכנה הוא \(P(M)=0.25\) מהסעיף הראשון.
\[
P(B\mid M)=\frac{P(B)P(M\mid B)}{P(M)}
=\frac{0.7\cdot 0.2}{0.25}=0.56
\]
\[
P(G\mid M)=\frac{P(G)P(M\mid G)}{P(M)}
=\frac{0.2\cdot 0.25}{0.25}=0.20
\]
\[
P(O\mid M)=\frac{P(O)P(M\mid O)}{P(M)}
=\frac{0.1\cdot 0.6}{0.25}=0.24
\]
תשובה: תואר ראשון 0.56; תואר מתקדם 0.20; תוכנית אחרת 0.24.
א. יתרונות החציון
החציון הוא הערך האמצעי לאחר סידור הנתונים. יתרונות אפשריים:
- הוא עמיד יחסית לערכים חריגים.
- הוא מתאים לתיאור מרכז הנתונים כאשר ההתפלגות אינה סימטרית.
- הוא קל להבנה: חצי מהתצפיות נמצאות מתחתיו וחצי מעליו.
תשובה מספקת: שני יתרונות נכונים מתוך הרשימה.
ב. חישוב חציון
מסדרים את הנתונים מהקטן לגדול:
\[
2,\,8,\,9,\,10,\,12,\,12,\,12,\,12,\,23,\,23,\,34,\,100
\]
יש 12 תצפיות, ולכן החציון הוא ממוצע התצפית ה־6 והתצפית ה־7.
\[
\operatorname{Median}=\frac{12+12}{2}=12
\]
תשובה: החציון הוא 12.
ג. סיווג משתנים במחקר על קפה
| משתנה | כמותי/איכותי | סוג נוסף | בינארי? |
|---|
| מספר כוסות קפה ביום | כמותי | בדיד | לא |
| דירוג אהבה לקפה 1–5 | איכותי | סדרתי | לא |
| סוג הקפה המועדף | איכותי | נומינלי | לא |
| טמפרטורת הקפה במעלות | כמותי | רציף | לא |
| שתייה לפני 7:00 — כן/לא | איכותי | נומינלי | כן |
אפשר לקבל גם נימוק שמטפל בדירוג 1–5 כמשתנה כמותי בדיד, אם בקורס הוצג כך. עם זאת, בסיווג קלאסי של סולם דירוג, זה משתנה איכותי סדרתי.
ד. הרעיון של מקדם המתאם של פירסון
מקדם המתאם של פירסון מודד את עוצמת וכיוון הקשר הליניארי בין שני משתנים כמותיים. הערכים שלו נמצאים בין \(-1\) ל־\(1\).
- ערך חיובי: כאשר משתנה אחד גדל, השני נוטה לגדול.
- ערך שלילי: כאשר משתנה אחד גדל, השני נוטה לרדת.
- ערך קרוב ל־0: אין קשר ליניארי חזק.
נשתמש בו כאשר יש זוגות תצפיות כמותיות ורוצים לבדוק קשר ליניארי.
ה. סעיף חובה: חישוב מקדם המתאם בין גובה ומשקל
הנתונים הם זוגות של גובה ומשקל. נסמן \(x=\) גובה, \(y=\) משקל.
\[
\bar{x}=\frac{170+175+165+162+168}{5}=168
\]
\[
\bar{y}=\frac{80+83+90+60+84}{5}=79.4
\]
נחשב סטיות מהממוצע ואת המכפלות:
| \(x\) | \(y\) | \(x-\bar{x}\) | \(y-\bar{y}\) | \((x-\bar{x})(y-\bar{y})\) | \((x-\bar{x})^2\) | \((y-\bar{y})^2\) |
|---|
| 170 | 80 | 2 | 0.6 | 1.2 | 4 | 0.36 |
| 175 | 83 | 7 | 3.6 | 25.2 | 49 | 12.96 |
| 165 | 90 | -3 | 10.6 | -31.8 | 9 | 112.36 |
| 162 | 60 | -6 | -19.4 | 116.4 | 36 | 376.36 |
| 168 | 84 | 0 | 4.6 | 0 | 0 | 21.16 |
| סכום | | | | 111 | 98 | 523.2 |
|---|
\[
r=\frac{\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})}
{\sqrt{\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2\;\sum_{i=1}^{n}(y_i-\bar{y})^2}}
\]
\[
r=\frac{111}{\sqrt{98\cdot 523.2}}
\approx \frac{111}{226.44}
\approx 0.49
\]
תשובה: מקדם המתאם הוא בערך 0.49, כלומר קשר ליניארי חיובי בינוני.
בדיקה מסכמת: הנוסח תואם בחינה של שעתיים; הסעיף האחרון בכל שאלה הוא סעיף חובה ומאתגר יותר; הטבלאות הנורמליות מופיעות בטופס הבחינה משמאל לימין ובשתי גרסאות — חיובית ושלילית.